doc/bin_dec_hex.txt

   1 BIN_DEC_HEX(1)                      rrdtool                     BIN_DEC_HEX(1)
   2
   3
   4
   5 N\bNA\bAM\bME\bE
   6        bin_dec_hex - How to use binary, decimal, and hexadecimal notation.
   7
   8 D\bDE\bES\bSC\bCR\bRI\bIP\bPT\bTI\bIO\bON\bN
   9        Most people use the decimal numbering system. This system uses ten
  10        symbols to represent numbers. When those ten symbols are used up, they
  11        start all over again and increment the position to the left. The digit
  12        0 is only shown if it is the only symbol in the sequence, or if it is
  13        not the first one.
  14
  15        If this sounds cryptic to you, this is what I've just said in numbers:
  16
  17             0
  18             1
  19             2
  20             3
  21             4
  22             5
  23             6
  24             7
  25             8
  26             9
  27            10
  28            11
  29            12
  30            13
  31
  32        and so on.
  33
  34        Each time the digit nine is incremented, it is reset to 0 and the
  35        position before (to the left) is incremented (from 0 to 1). Then number
  36        9 can be seen as "00009" and when we should increment 9, we reset it to
  37        zero and increment the digit just before the 9 so the number becomes
  38        "00010". Leading zeros we don't write except if it is the only digit
  39        (number 0). And of course, we write zeros if they occur anywhere inside
  40        or at the end of a number:
  41
  42         "00010" -> " 0010" -> " 010" -> "  10", but not "  1 ".
  43
  44        This was pretty basic, you already knew this. Why did I tell it?  Well,
  45        computers usually do not represent numbers with 10 different digits.
  46        They only use two different symbols, namely "0" and "1". Apply the same
  47        rules to this set of digits and you get the binary numbering system:
  48
  49             0
  50             1
  51            10
  52            11
  53           100
  54           101
  55           110
  56           111
  57          1000
  58          1001
  59          1010
  60          1011
  61          1100
  62          1101
  63
  64        and so on.
  65
  66        If you count the number of rows, you'll see that these are again 14
  67        different numbers. The numbers are the same and mean the same as in the
  68        first list, we just used a different representation. This means that
  69        you have to know the representation used, or as it is called the
  70        numbering system or base.  Normally, if we do not explicitly specify
  71        the numbering system used, we implicitly use the decimal system. If we
  72        want to use any other numbering system, we'll have to make that clear.
  73        There are a few widely adopted methods to do so. One common form is to
  74        write 1010(2) which means that you wrote down a number in its binary
  75        representation. It is the number ten. If you would write 1010 without
  76        specifying the base, the number is interpreted as one thousand and ten
  77        using base 10.
  78
  79        In books, another form is common. It uses subscripts (little
  80        characters, more or less in between two rows). You can leave out the
  81        parentheses in that case and write down the number in normal characters
  82        followed by a little two just behind it.
  83
  84        As the numbering system used is also called the base, we talk of the
  85        number 1100 base 2, the number 12 base 10.
  86
  87        Within the binary system, it is common to write leading zeros. The
  88        numbers are written down in series of four, eight or sixteen depending
  89        on the context.
  90
  91        We can use the binary form when talking to computers
  92        (...programming...), but the numbers will have large representations.
  93        The number 65'535 (often in the decimal system a ' is used to separate
  94        blocks of three digits for readability) would be written down as
  95        1111111111111111(2) which is 16 times the digit 1.  This is difficult
  96        and prone to errors. Therefore, we usually would use another base,
  97        called hexadecimal. It uses 16 different symbols. First the symbols
  98        from the decimal system are used, thereafter we continue with
  99        alphabetic characters. We get 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,
 100        E and F. This system is chosen because the hexadecimal form can be
 101        converted into the binary system very easily (and back).
 102
 103        There is yet another system in use, called the octal system. This was
 104        more common in the old days, but is not used very often anymore. As you
 105        might find it in use sometimes, you should get used to it and we'll
 106        show it below. It's the same story as with the other representations,
 107        but with eight different symbols.
 108
 109         Binary      (2)
 110         Octal       (8)
 111         Decimal     (10)
 112         Hexadecimal (16)
 113
 114         (2)    (8) (10) (16)
 115         00000   0    0    0
 116         00001   1    1    1
 117         00010   2    2    2
 118         00011   3    3    3
 119         00100   4    4    4
 120         00101   5    5    5
 121         00110   6    6    6
 122         00111   7    7    7
 123         01000  10    8    8
 124         01001  11    9    9
 125         01010  12   10    A
 126         01011  13   11    B
 127         01100  14   12    C
 128         01101  15   13    D
 129         01110  16   14    E
 130         01111  17   15    F
 131         10000  20   16   10
 132         10001  21   17   11
 133         10010  22   18   12
 134         10011  23   19   13
 135         10100  24   20   14
 136         10101  25   21   15
 137
 138        Most computers used nowadays are using bytes of eight bits. This means
 139        that they store eight bits at a time. You can see why the octal system
 140        is not the most practical for that: You'd need three digits to
 141        represent the eight bits and this means that you'd have to use one
 142        complete digit to represent only two bits (2+3+3=8). This is a waste.
 143        For hexadecimal digits, you need only two digits which are used
 144        completely:
 145
 146         (2)      (8)  (10) (16)
 147         11111111 377  255   FF
 148
 149        You can see why binary and hexadecimal can be converted quickly: For
 150        each hexadecimal digit there are exactly four binary digits.  Take a
 151        binary number: take four digits from the right and make a hexadecimal
 152        digit from it (see the table above). Repeat this until there are no
 153        more digits. And the other way around: Take a hexadecimal number. For
 154        each digit, write down its binary equivalent.
 155
 156        Computers (or rather the parsers running on them) would have a hard
 157        time converting a number like 1234(16). Therefore hexadecimal numbers
 158        are specified with a prefix. This prefix depends on the language you're
 159        writing in. Some of the prefixes are "0x" for C, "$" for Pascal, "#"
 160        for HTML.  It is common to assume that if a number starts with a zero,
 161        it is octal. It does not matter what is used as long as you know what
 162        it is. I will use "0x" for hexadecimal, "%" for binary and "0" for
 163        octal.  The following numbers are all the same, just their
 164        representation (base) is different: 021 0x11 17 %00010001
 165
 166        To do arithmetics and conversions you need to understand one more
 167        thing.  It is something you already know but perhaps you do not "see"
 168        it yet:
 169
 170        If you write down 1234, (no prefix, so it is decimal) you are talking
 171        about the number one thousand, two hundred and thirty four. In sort of
 172        a formula:
 173
 174         1 * 1000 = 1000
 175         2 *  100 =  200
 176         3 *   10 =   30
 177         4 *    1 =    4
 178
 179        This can also be written as:
 180
 181         1 * 10^3
 182         2 * 10^2
 183         3 * 10^1
 184         4 * 10^0
 185
 186        where ^ means "to the power of".
 187
 188        We are using the base 10, and the positions 0,1,2 and 3.  The right-
 189        most position should NOT be multiplied with 10. The second from the
 190        right should be multiplied one time with 10. The third from the right
 191        is multiplied with 10 two times. This continues for whatever positions
 192        are used.
 193
 194        It is the same in all other representations:
 195
 196        0x1234 will be
 197
 198         1 * 16^3
 199         2 * 16^2
 200         3 * 16^1
 201         4 * 16^0
 202
 203        01234 would be
 204
 205         1 * 8^3
 206         2 * 8^2
 207         3 * 8^1
 208         4 * 8^0
 209
 210        This example can not be done for binary as that system only uses two
 211        symbols. Another example:
 212
 213        %1010 would be
 214
 215         1 * 2^3
 216         0 * 2^2
 217         1 * 2^1
 218         0 * 2^0
 219
 220        It would have been easier to convert it to its hexadecimal form and
 221        just translate %1010 into 0xA. After a while you get used to it. You
 222        will not need to do any calculations anymore, but just know that 0xA
 223        means 10.
 224
 225        To convert a decimal number into a hexadecimal you could use the next
 226        method. It will take some time to be able to do the estimates, but it
 227        will be easier when you use the system more frequently. We'll look at
 228        yet another way afterwards.
 229
 230        First you need to know how many positions will be used in the other
 231        system. To do so, you need to know the maximum numbers you'll be using.
 232        Well, that's not as hard as it looks. In decimal, the maximum number
 233        that you can form with two digits is "99". The maximum for three:
 234        "999". The next number would need an extra position. Reverse this idea
 235        and you will see that the number can be found by taking 10^3 (10*10*10
 236        is 1000) minus 1 or 10^2 minus one.
 237
 238        This can be done for hexadecimal as well:
 239
 240         16^4 = 0x10000 = 65536
 241         16^3 =  0x1000 =  4096
 242         16^2 =   0x100 =   256
 243         16^1 =    0x10 =    16
 244
 245        If a number is smaller than 65'536 it will fit in four positions.  If
 246        the number is bigger than 4'095, you must use position 4.  How many
 247        times you can subtract 4'096 from the number without going below zero
 248        is the first digit you write down. This will always be a number from 1
 249        to 15 (0x1 to 0xF). Do the same for the other positions.
 250
 251        Let's try with 41'029. It is smaller than 16^4 but bigger than 16^3-1.
 252        This means that we have to use four positions.  We can subtract 16^3
 253        from 41'029 ten times without going below zero.  The left-most digit
 254        will therefore be "A", so we have 0xA????.  The number is reduced to
 255        41'029 - 10*4'096 = 41'029-40'960 = 69.  69 is smaller than 16^3 but
 256        not bigger than 16^2-1. The second digit is therefore "0" and we now
 257        have 0xA0??.  69 is smaller than 16^2 and bigger than 16^1-1. We can
 258        subtract 16^1 (which is just plain 16) four times and write down "4" to
 259        get 0xA04?.  Subtract 64 from 69 (69 - 4*16) and the last digit is 5
 260        --> 0xA045.
 261
 262        The other method builds up the number from the right. Let's try 41'029
 263        again.  Divide by 16 and do not use fractions (only whole numbers).
 264
 265         41'029 / 16 is 2'564 with a remainder of 5. Write down 5.
 266         2'564 / 16 is 160 with a remainder of 4. Write the 4 before the 5.
 267         160 / 16 is 10 with no remainder. Prepend 45 with 0.
 268         10 / 16 is below one. End here and prepend 0xA. End up with 0xA045.
 269
 270        Which method to use is up to you. Use whatever works for you.  I use
 271        them both without being able to tell what method I use in each case, it
 272        just depends on the number, I think. Fact is, some numbers will occur
 273        frequently while programming. If the number is close to one I am
 274        familiar with, then I will use the first method (like 32'770 which is
 275        into 32'768 + 2 and I just know that it is 0x8000 + 0x2 = 0x8002).
 276
 277        For binary the same approach can be used. The base is 2 and not 16, and
 278        the number of positions will grow rapidly. Using the second method has
 279        the advantage that you can see very easily if you should write down a
 280        zero or a one: if you divide by two the remainder will be zero if it is
 281        an even number and one if it is an odd number:
 282
 283         41029 / 2 = 20514 remainder 1
 284         20514 / 2 = 10257 remainder 0
 285         10257 / 2 =  5128 remainder 1
 286          5128 / 2 =  2564 remainder 0
 287          2564 / 2 =  1282 remainder 0
 288          1282 / 2 =   641 remainder 0
 289           641 / 2 =   320 remainder 1
 290           320 / 2 =   160 remainder 0
 291           160 / 2 =    80 remainder 0
 292            80 / 2 =    40 remainder 0
 293            40 / 2 =    20 remainder 0
 294            20 / 2 =    10 remainder 0
 295            10 / 2 =     5 remainder 0
 296             5 / 2 =     2 remainder 1
 297             2 / 2 =     1 remainder 0
 298             1 / 2 below 0 remainder 1
 299
 300        Write down the results from right to left: %1010000001000101
 301
 302        Group by four:
 303
 304         %1010000001000101
 305         %101000000100 0101
 306         %10100000 0100 0101
 307         %1010 0000 0100 0101
 308
 309        Convert into hexadecimal: 0xA045
 310
 311        Group %1010000001000101 by three and convert into octal:
 312
 313         %1010000001000101
 314         %1010000001000 101
 315         %1010000001 000 101
 316         %1010000 001 000 101
 317         %1010 000 001 000 101
 318         %1 010 000 001 000 101
 319         %001 010 000 001 000 101
 320            1   2   0   1   0   5 --> 0120105
 321
 322         So: %1010000001000101 = 0120105 = 0xA045 = 41029
 323         Or: 1010000001000101(2) = 120105(8) = A045(16) = 41029(10)
 324         Or: 1010000001000101(2) = 120105(8) = A045(16) = 41029
 325
 326        At first while adding numbers, you'll convert them to their decimal
 327        form and then back into their original form after doing the addition.
 328        If you use the other numbering system often, you will see that you'll
 329        be able to do arithmetics directly in the base that is used.  In any
 330        representation it is the same, add the numbers on the right, write down
 331        the right-most digit from the result, remember the other digits and use
 332        them in the next round. Continue with the second digit from the right
 333        and so on:
 334
 335            %1010 + %0111 --> 10 + 7 --> 17 --> %00010001
 336
 337        will become
 338
 339            %1010
 340            %0111 +
 341             ||||
 342             |||+-- add 0 + 1, result is 1, nothing to remember
 343             ||+--- add 1 + 1, result is %10, write down 0 and remember 1
 344             |+---- add 0 + 1 + 1(remembered), result = 0, remember 1
 345             +----- add 1 + 0 + 1(remembered), result = 0, remember 1
 346                    nothing to add, 1 remembered, result = 1
 347         --------
 348           %10001 is the result, I like to write it as %00010001
 349
 350        For low values, try to do the calculations yourself, then check them
 351        with a calculator. The more you do the calculations yourself, the more
 352        you'll find that you didn't make mistakes. In the end, you'll do
 353        calculi in other bases as easily as you do them in decimal.
 354
 355        When the numbers get bigger, you'll have to realize that a computer is
 356        not called a computer just to have a nice name. There are many
 357        different calculators available, use them. For Unix you could use "bc"
 358        which is short for Binary Calculator. It calculates not only in
 359        decimal, but in all bases you'll ever want to use (among them Binary).
 360
 361        For people on Windows: Start the calculator
 362        (start->programs->accessories->calculator) and if necessary click
 363        view->scientific. You now have a scientific calculator and can compute
 364        in binary or hexadecimal.
 365
 366 A\bAU\bUT\bTH\bHO\bOR\bR
 367        I hope you enjoyed the examples and their descriptions. If you do, help
 368        other people by pointing them to this document when they are asking
 369        basic questions. They will not only get their answer, but at the same
 370        time learn a whole lot more.
 371
 372        Alex van den Bogaerdt  <alex@vandenbogaerdt.nl>
 373
 374
 375
 376 1.4.8                             2013-05-23                    BIN_DEC_HEX(1)