src/syseq.h

   1 #ifndef SEEN_SYSEQ_H
   2 #define SEEN_SYSEQ_H
   3
   4 /*
   5  * Auxiliary routines to solve systems of linear equations in several variants and sizes.
   6  *
   7  * Authors:
   8  *   Maximilian Albert <Anhalter42@gmx.de>
   9  *
  10  * Copyright (C) 2007  Authors
  11  *
  12  * Released under GNU GPL, read the file 'COPYING' for more information
  13  */
  14
  15 #include <algorithm>
  16 #include <iostream>
  17 #include <iomanip>
  18 #include <vector>
  19 #include "math.h"
  20
  21 namespace SysEq {
  22
  23 enum SolutionKind {
  24     unique = 0,
  25     ambiguous,
  26     no_solution,
  27     solution_exists // FIXME: remove this; does not yield enough information
  28 };
  29
  30 inline void explain(SolutionKind sol) {
  31     switch (sol) {
  32         case SysEq::unique:
  33             std::cout << "unique" << std::endl;
  34             break;
  35         case SysEq::ambiguous:
  36             std::cout << "ambiguous" << std::endl;
  37             break;
  38         case SysEq::no_solution:
  39             std::cout << "no solution" << std::endl;
  40             break;
  41         case SysEq::solution_exists:
  42             std::cout << "solution exists" << std::endl;
  43             break;
  44     }
  45 }
  46
  47 inline double
  48 determinant3x3 (double A[3][3]) {
  49     return (A[0][0]*A[1][1]*A[2][2] +
  50             A[0][1]*A[1][2]*A[2][0] +
  51             A[0][2]*A[1][0]*A[2][1] -
  52             A[0][0]*A[1][2]*A[2][1] -
  53             A[0][1]*A[1][0]*A[2][2] -
  54             A[0][2]*A[1][1]*A[2][0]);
  55 }
  56
  57 /* Determinant of the 3x3 matrix having a, b, and c as columns */
  58 inline double
  59 determinant3v (const double a[3], const double b[3], const double c[3]) {
  60     return (a[0]*b[1]*c[2] +
  61             a[1]*b[2]*c[0] +
  62             a[2]*b[0]*c[1] -
  63             a[0]*b[2]*c[1] -
  64             a[1]*b[0]*c[2] -
  65             a[2]*b[1]*c[0]);
  66 }
  67
  68 /* Copy the elements of A into B */
  69 template <int S, int T>
  70 inline void copy_mat(double A[S][T], double B[S][T]) {
  71     for (int i = 0; i < S; ++i) {
  72         for (int j = 0; j < T; ++j) {
  73             B[i][j] = A[i][j];
  74         }
  75     }
  76 }
  77
  78 template <int S, int T>
  79 inline void print_mat (const double A[S][T]) {
  80     std::cout.setf(std::ios::left, std::ios::internal);
  81     for (int i = 0; i < S; ++i) {
  82         for (int j = 0; j < T; ++j) {
  83             printf ("%8.2f ", A[i][j]);
  84         }
  85         std::cout << std::endl;;
  86     }
  87 }
  88
  89 /* Multiplication of two matrices */
  90 template <int S, int U, int T>
  91 inline void multiply(double A[S][U], double B[U][T], double res[S][T]) {
  92     for (int i = 0; i < S; ++i) {
  93         for (int j = 0; j < T; ++j) {
  94             double sum = 0;
  95             for (int k = 0; k < U; ++k) {
  96                 sum += A[i][k] * B[k][j];
  97             }
  98             res[i][j] = sum;
  99         }
 100     }
 101 }
 102
 103 /*
 104  * Multiplication of a matrix with a vector (for convenience, because with the previous
 105  * multiplication function we would always have to write v[i][0] for elements of the vector.
 106  */
 107 template <int S, int T>
 108 inline void multiply(double A[S][T], double v[T], double res[S]) {
 109     for (int i = 0; i < S; ++i) {
 110         double sum = 0;
 111         for (int k = 0; k < T; ++k) {
 112             sum += A[i][k] * v[k];
 113         }
 114         res[i] = sum;
 115     }
 116 }
 117
 118 // Remark: Since we are using templates, we cannot separate declarations from definitions (which would
 119 //         result in linker errors but have to include the definitions here for the following functions.
 120 // FIXME: Maybe we should rework all this by using vector<vector<double> > structures for matrices
 121 //        instead of double[S][T]. This would allow us to avoid templates. Would the performance degrade?
 122
 123 /*
 124  * Find the element of maximal absolute value in row i that
 125  * does not lie in one of the columns given in avoid_cols.
 126  */
 127 template <int S, int T>
 128 static int find_pivot(const double A[S][T], unsigned int i, std::vector<int> const &avoid_cols) {
 129     if (i >= S) {
 130         return -1;
 131     }
 132     int pos = -1;
 133     double max = 0;
 134     for (int j = 0; j < T; ++j) {
 135         if (std::find(avoid_cols.begin(), avoid_cols.end(), j) != avoid_cols.end()) {
 136             continue; // skip "forbidden" columns
 137         }
 138         if (fabs(A[i][j]) > max) {
 139             pos = j;
 140             max = fabs(A[i][j]);
 141         }
 142     }
 143     return pos;
 144 }
 145
 146 /*
 147  * Performs a single 'exchange step' in the Gauss-Jordan algorithm (i.e., swapping variables in the
 148  * two vectors).
 149  */
 150 template <int S, int T>
 151 static void gauss_jordan_step (double A[S][T], int row, int col) {
 152     double piv = A[row][col]; // pivot element
 153     /* adapt the entries of the matrix, first outside the pivot row/column */
 154     for (int k = 0; k < S; ++k) {
 155         if (k == row) continue;
 156         for (int l = 0; l < T; ++l) {
 157             if (l == col) continue;
 158             A[k][l] -= A[k][col] * A[row][l] / piv;
 159         }
 160     }
 161     /* now adapt the pivot column ... */
 162     for (int k = 0; k < S; ++k) {
 163         if (k == row) continue;
 164         A[k][col]  /= piv;
 165     }
 166     /* and the pivot row */
 167     for (int l = 0; l < T; ++l) {
 168         if (l == col) continue;
 169         A[row][l]  /= -piv;
 170     }
 171     /* finally, set the element at the pivot position itself */
 172     A[row][col] = 1/piv;
 173 }
 174
 175 /*
 176  * Perform Gauss-Jordan elimination on the matrix A, optionally avoiding a given column during pivot search
 177  */
 178 template <int S, int T>
 179 static std::vector<int> gauss_jordan (double A[S][T], int avoid_col = -1) {
 180     std::vector<int> cols_used;
 181     if (avoid_col != -1) {
 182         cols_used.push_back (avoid_col);
 183     }
 184     int col;
 185     for (int i = 0; i < S; ++i) {
 186         /* for each row find a pivot element of maximal absolute value, skipping the columns that were used before */
 187         col = find_pivot<S,T>(A, i, cols_used);
 188         cols_used.push_back(col);
 189         if (col == -1) {
 190             // no non-zero elements in the row
 191             return cols_used;
 192         }
 193
 194         /* if pivot search was successful we can perform a Gauss-Jordan step */
 195         gauss_jordan_step<S,T> (A, i, col);
 196     }
 197     if (avoid_col != -1) {
 198         // since the columns that were used will be needed later on, we need to clean up the column vector
 199         cols_used.erase(cols_used.begin());
 200     }
 201     return cols_used;
 202 }
 203
 204 /* compute the modified value that x[index] needs to assume so that in the end we have x[index]/x[T-1] = val */
 205 template <int S, int T>
 206 static double projectify (std::vector<int> const &cols, const double B[S][T], const double x[T],
 207                           const int index, const double val) {
 208     double val_proj = 0.0;
 209     if (index != -1) {
 210         int c = -1;
 211         for (int i = 0; i < S; ++i) {
 212             if (cols[i] == T-1) {
 213                 c = i;
 214                 break;
 215             }
 216         }
 217         if (c == -1) {
 218             std::cout << "Something is wrong. Rethink!!" << std::endl;
 219             return SysEq::no_solution;
 220         }
 221
 222         double sp = 0;
 223         for (int j = 0; j < T; ++j) {
 224             if (j == index) continue;
 225             sp += B[c][j] * x[j];
 226         }
 227         double mu = 1 - val * B[c][index];
 228         if (fabs(mu) < 1E-6) {
 229             std::cout << "No solution since adapted value is too close to zero" << std::endl;
 230             return SysEq::no_solution;
 231         }
 232         val_proj = sp*val/mu;
 233     } else {
 234         val_proj = val; // FIXME: Is this correct?
 235     }
 236     return val_proj;
 237 }
 238
 239 /**
 240  * Solve the linear system of equations \a A * \a x = \a v where we additionally stipulate
 241  * \a x[\a index] = \a val if \a index is not -1. The system is solved using Gauss-Jordan
 242  * elimination so that we can gracefully handle the case that zero or infinitely many
 243  * solutions exist.
 244  *
 245  * Since our application will be to finding preimages of projective mappings, we provide
 246  * an additional argument \a proj. If this is true, we find a solution of
 247  * \a x[\a index]/\a x[\T - 1] = \a val insted (i.e., we want the corresponding coordinate
 248  * of the _affine image_ of the point with homogeneous coordinate vector \a x to be equal
 249  * to \a val.
 250  *
 251  * Remark: We don't need this but it would be relatively simple to let the calling function
 252  * prescripe the value of _multiple_ components of the solution vector instead of only a single one.
 253  */
 254 template <int S, int T> SolutionKind gaussjord_solve (double A[S][T], double x[T], double v[S],
 255                                                       int index = -1, double val = 0.0, bool proj = false) {
 256     double B[S][T];
 257     //copy_mat<S,T>(A,B);
 258     SysEq::copy_mat<S,T>(A,B);
 259     std::vector<int> cols = gauss_jordan<S,T>(B, index);
 260     if (std::find(cols.begin(), cols.end(), -1) != cols.end()) {
 261         // pivot search failed for some row so the system is not solvable
 262         return SysEq::no_solution;
 263     }
 264
 265     /* the vector x is filled with the coefficients of the desired solution vector at appropriate places;
 266      * the other components are set to zero, and we additionally set x[index] = val if applicable
 267      */
 268     std::vector<int>::iterator k;
 269     for (int j = 0; j < S; ++j) {
 270         x[cols[j]] = v[j];
 271     }
 272     for (int j = 0; j < T; ++j) {
 273         k = std::find(cols.begin(), cols.end(), j);
 274         if (k == cols.end()) {
 275             x[j] = 0;
 276         }
 277     }
 278
 279     // we need to adapt the value if we we are in the "projective case" (see above)
 280     double val_new = (proj ? projectify<S,T>(cols, B, x, index, val) : val);
 281
 282     if (index != -1 && index >= 0 && index < T) {
 283         // we want the specified coefficient of the solution vector to have a given value
 284         x[index] = val_new;
 285     }
 286
 287     /* the final solution vector is now obtained as the product B*x, where B is the matrix
 288      * obtained by Gauss-Jordan manipulation of A; we use w as an auxiliary vector and
 289      * afterwards copy the result back to x
 290      */
 291     double w[S];
 292     SysEq::multiply<S,T>(B,x,w);
 293     for (int j = 0; j < S; ++j) {
 294         x[cols[j]] = w[j];
 295     }
 296
 297     if (S + (index == -1 ? 0 : 1) == T) {
 298         return SysEq::unique;
 299     } else {
 300         return SysEq::ambiguous;
 301     }
 302 }
 303
 304 } // namespace SysEq
 305
 306 #endif /* __SYSEQ_H__ */
 307
 308 /*
 309   Local Variables:
 310   mode:c++
 311   c-file-style:"stroustrup"
 312   c-file-offsets:((innamespace . 0)(inline-open . 0)(case-label . +))
 313   indent-tabs-mode:nil
 314   fill-column:99
 315   End:
 316 */
 317 // vim: filetype=cpp:expandtab:shiftwidth=4:tabstop=8:softtabstop=4:encoding=utf-8:textwidth=99 :