src/2geom/sbasis-to-bezier.cpp

   1 /*
   2  * Symmetric Power Basis - Bernstein Basis conversion routines
   3  *
   4  * Authors:
   5  *      Marco Cecchetti <mrcekets at gmail.com>
   6  *      Nathan Hurst <njh@mail.csse.monash.edu.au>
   7  *
   8  * Copyright 2007-2008  authors
   9  *
  10  * This library is free software; you can redistribute it and/or
  11  * modify it either under the terms of the GNU Lesser General Public
  12  * License version 2.1 as published by the Free Software Foundation
  13  * (the "LGPL") or, at your option, under the terms of the Mozilla
  14  * Public License Version 1.1 (the "MPL"). If you do not alter this
  15  * notice, a recipient may use your version of this file under either
  16  * the MPL or the LGPL.
  17  *
  18  * You should have received a copy of the LGPL along with this library
  19  * in the file COPYING-LGPL-2.1; if not, write to the Free Software
  20  * Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA
  21  * You should have received a copy of the MPL along with this library
  22  * in the file COPYING-MPL-1.1
  23  *
  24  * The contents of this file are subject to the Mozilla Public License
  25  * Version 1.1 (the "License"); you may not use this file except in
  26  * compliance with the License. You may obtain a copy of the License at
  27  * http://www.mozilla.org/MPL/
  28  *
  29  * This software is distributed on an "AS IS" basis, WITHOUT WARRANTY
  30  * OF ANY KIND, either express or implied. See the LGPL or the MPL for
  31  * the specific language governing rights and limitations.
  32  */
  33
  34
  35 #include <2geom/sbasis-to-bezier.h>
  36 #include <2geom/d2.h>
  37 #include <2geom/choose.h>
  38 #include <2geom/svg-path.h>
  39 #include <2geom/exception.h>
  40
  41 #include <iostream>
  42
  43
  44
  45
  46 namespace Geom
  47 {
  48
  49 /*
  50  *  Symmetric Power Basis - Bernstein Basis conversion routines
  51  *
  52  *  some remark about precision:
  53  *  interval [0,1], subdivisions: 10^3
  54  *  - bezier_to_sbasis : up to degree ~72 precision is at least 10^-5
  55  *                       up to degree ~87 precision is at least 10^-3
  56  *  - sbasis_to_bezier : up to order ~63 precision is at least 10^-15
  57  *                       precision is at least 10^-14 even beyond order 200
  58  *
  59  *  interval [-1,1], subdivisions: 10^3
  60  *  - bezier_to_sbasis : up to degree ~21 precision is at least 10^-5
  61  *                       up to degree ~24 precision is at least 10^-3
  62  *  - sbasis_to_bezier : up to order ~11 precision is at least 10^-5
  63  *                       up to order ~13 precision is at least 10^-3
  64  *
  65  *  interval [-10,10], subdivisions: 10^3
  66  *  - bezier_to_sbasis : up to degree ~7 precision is at least 10^-5
  67  *                       up to degree ~8 precision is at least 10^-3
  68  *  - sbasis_to_bezier : up to order ~3 precision is at least 10^-5
  69  *                       up to order ~4 precision is at least 10^-3
  70  *
  71  *  references:
  72  *  this implementation is based on the following article:
  73  *  J.Sanchez-Reyes - The Symmetric Analogue of the Polynomial Power Basis
  74  */
  75
  76 inline
  77 double binomial(unsigned int n, unsigned int k)
  78 {
  79     return choose<double>(n, k);
  80 }
  81
  82 inline
  83 int sgn(unsigned int j, unsigned int k)
  84 {
  85     assert (j >= k);
  86     // we are sure that j >= k
  87     return ((j-k) &  1u) ? -1 : 1;
  88 }
  89
  90
  91 /** Changes the basis of p to be bernstein.
  92  \param p the Symmetric basis polynomial
  93  \returns the Bernstein basis polynomial
  94
  95  if the degree is even q is the order in the symmetrical power basis,
  96  if the degree is odd q is the order + 1
  97  n is always the polynomial degree, i. e. the Bezier order
  98 */
  99 void sbasis_to_bezier (Bezier & bz, SBasis const& sb, size_t sz)
 100 {
 101     size_t q, n;
 102     bool even;
 103     if (sz == 0)
 104     {
 105         q = sb.size();
 106         if (sb[q-1][0] == sb[q-1][1])
 107         {
 108             even = true;
 109             --q;
 110             n = 2*q;
 111         }
 112         else
 113         {
 114             even = false;
 115             n = 2*q-1;
 116         }
 117     }
 118     else
 119     {
 120         q = (sz > sb.size()) ?  sb.size() : sz;
 121         n = 2*sz-1;
 122         even = false;
 123     }
 124     bz.clear();
 125     bz.resize(n+1);
 126     double Tjk;
 127     for (size_t k = 0; k < q; ++k)
 128     {
 129         for (size_t j = k; j < n-k; ++j) // j <= n-k-1
 130         {
 131             Tjk = binomial(n-2*k-1, j-k);
 132             bz[j] += (Tjk * sb[k][0]);
 133             bz[n-j] += (Tjk * sb[k][1]); // n-k <-> [k][1]
 134         }
 135     }
 136     if (even)
 137     {
 138         bz[q] += sb[q][0];
 139     }
 140     // the resulting coefficients are with respect to the scaled Bernstein
 141     // basis so we need to divide them by (n, j) binomial coefficient
 142     for (size_t j = 1; j < n; ++j)
 143     {
 144         bz[j] /= binomial(n, j);
 145     }
 146     bz[0] = sb[0][0];
 147     bz[n] = sb[0][1];
 148 }
 149
 150 /** Changes the basis of p to be Bernstein.
 151  \param p the D2 Symmetric basis polynomial
 152  \returns the D2 Bernstein basis polynomial
 153
 154  if the degree is even q is the order in the symmetrical power basis,
 155  if the degree is odd q is the order + 1
 156  n is always the polynomial degree, i. e. the Bezier order
 157 */
 158 void sbasis_to_bezier (std::vector<Point> & bz, D2<SBasis> const& sb, size_t sz)
 159 {
 160     Bezier bzx, bzy;
 161     sbasis_to_bezier(bzx, sb[X], sz);
 162     sbasis_to_bezier(bzy, sb[Y], sz);
 163     size_t n = (bzx.size() >= bzy.size()) ? bzx.size() : bzy.size();
 164
 165     bz.resize(n, Point(0,0));
 166     for (size_t i = 0; i < bzx.size(); ++i)
 167     {
 168         bz[i][X] = bzx[i];
 169     }
 170     for (size_t i = 0; i < bzy.size(); ++i)
 171     {
 172         bz[i][Y] = bzy[i];
 173     }
 174 }
 175
 176
 177 /** Changes the basis of p to be sbasis.
 178  \param p the Bernstein basis polynomial
 179  \returns the Symmetric basis polynomial
 180
 181  if the degree is even q is the order in the symmetrical power basis,
 182  if the degree is odd q is the order + 1
 183  n is always the polynomial degree, i. e. the Bezier order
 184 */
 185 void bezier_to_sbasis (SBasis & sb, Bezier const& bz)
 186 {
 187     size_t n = bz.order();
 188     size_t q = (n+1) / 2;
 189     size_t even = (n & 1u) ? 0 : 1;
 190     sb.clear();
 191     sb.resize(q + even, Linear(0, 0));
 192     double Tjk;
 193     for (size_t k = 0; k < q; ++k)
 194     {
 195         for (size_t j = k; j < q; ++j)
 196         {
 197             Tjk = sgn(j, k) * binomial(n-j-k, j-k) * binomial(n, k);
 198             sb[j][0] += (Tjk * bz[k]);
 199             sb[j][1] += (Tjk * bz[n-k]); // n-j <-> [j][1]
 200         }
 201         for (size_t j = k+1; j < q; ++j)
 202         {
 203             Tjk = sgn(j, k) * binomial(n-j-k-1, j-k-1) * binomial(n, k);
 204             sb[j][0] += (Tjk * bz[n-k]);
 205             sb[j][1] += (Tjk * bz[k]);   // n-j <-> [j][1]
 206         }
 207     }
 208     if (even)
 209     {
 210         for (size_t k = 0; k < q; ++k)
 211         {
 212             Tjk = sgn(q,k) * binomial(n, k);
 213             sb[q][0] += (Tjk * (bz[k] + bz[n-k]));
 214         }
 215         sb[q][0] += (binomial(n, q) * bz[q]);
 216         sb[q][1] = sb[q][0];
 217     }
 218     sb[0][0] = bz[0];
 219     sb[0][1] = bz[n];
 220 }
 221
 222
 223 /** Changes the basis of d2 p to be sbasis.
 224  \param p the d2 Bernstein basis polynomial
 225  \returns the d2 Symmetric basis polynomial
 226
 227  if the degree is even q is the order in the symmetrical power basis,
 228  if the degree is odd q is the order + 1
 229  n is always the polynomial degree, i. e. the Bezier order
 230 */
 231 void bezier_to_sbasis (D2<SBasis> & sb, std::vector<Point> const& bz)
 232 {
 233     size_t n = bz.size() - 1;
 234     size_t q = (n+1) / 2;
 235     size_t even = (n & 1u) ? 0 : 1;
 236     sb[X].clear();
 237     sb[Y].clear();
 238     sb[X].resize(q + even, Linear(0, 0));
 239     sb[Y].resize(q + even, Linear(0, 0));
 240     double Tjk;
 241     for (size_t k = 0; k < q; ++k)
 242     {
 243         for (size_t j = k; j < q; ++j)
 244         {
 245             Tjk = sgn(j, k) * binomial(n-j-k, j-k) * binomial(n, k);
 246             sb[X][j][0] += (Tjk * bz[k][X]);
 247             sb[X][j][1] += (Tjk * bz[n-k][X]);
 248             sb[Y][j][0] += (Tjk * bz[k][Y]);
 249             sb[Y][j][1] += (Tjk * bz[n-k][Y]);
 250         }
 251         for (size_t j = k+1; j < q; ++j)
 252         {
 253             Tjk = sgn(j, k) * binomial(n-j-k-1, j-k-1) * binomial(n, k);
 254             sb[X][j][0] += (Tjk * bz[n-k][X]);
 255             sb[X][j][1] += (Tjk * bz[k][X]);
 256             sb[Y][j][0] += (Tjk * bz[n-k][Y]);
 257             sb[Y][j][1] += (Tjk * bz[k][Y]);
 258         }
 259     }
 260     if (even)
 261     {
 262         for (size_t k = 0; k < q; ++k)
 263         {
 264             Tjk = sgn(q,k) * binomial(n, k);
 265             sb[X][q][0] += (Tjk * (bz[k][X] + bz[n-k][X]));
 266             sb[Y][q][0] += (Tjk * (bz[k][Y] + bz[n-k][Y]));
 267         }
 268         sb[X][q][0] += (binomial(n, q) * bz[q][X]);
 269         sb[X][q][1] = sb[X][q][0];
 270         sb[Y][q][0] += (binomial(n, q) * bz[q][Y]);
 271         sb[Y][q][1] = sb[Y][q][0];
 272     }
 273     sb[X][0][0] = bz[0][X];
 274     sb[X][0][1] = bz[n][X];
 275     sb[Y][0][0] = bz[0][Y];
 276     sb[Y][0][1] = bz[n][Y];
 277 }
 278
 279
 280 }  // end namespace Geom
 281
 282
 283 #if 0
 284 /*
 285 * This version works by inverting a reasonable upper bound on the error term after subdividing the
 286 * curve at $a$.  We keep biting off pieces until there is no more curve left.
 287 *
 288 * Derivation: The tail of the power series is $a_ks^k + a_{k+1}s^{k+1} + \ldots = e$.  A
 289 * subdivision at $a$ results in a tail error of $e*A^k, A = (1-a)a$.  Let this be the desired
 290 * tolerance tol $= e*A^k$ and invert getting $A = e^{1/k}$ and $a = 1/2 - \sqrt{1/4 - A}$
 291 */
 292 void
 293 subpath_from_sbasis_incremental(Geom::OldPathSetBuilder &pb, D2<SBasis> B, double tol, bool initial) {
 294     const unsigned k = 2; // cubic bezier
 295     double te = B.tail_error(k);
 296     assert(B[0].IS_FINITE());
 297     assert(B[1].IS_FINITE());
 298
 299     //std::cout << "tol = " << tol << std::endl;
 300     while(1) {
 301         double A = std::sqrt(tol/te); // pow(te, 1./k)
 302         double a = A;
 303         if(A < 1) {
 304             A = std::min(A, 0.25);
 305             a = 0.5 - std::sqrt(0.25 - A); // quadratic formula
 306             if(a > 1) a = 1; // clamp to the end of the segment
 307         } else
 308             a = 1;
 309         assert(a > 0);
 310         //std::cout << "te = " << te << std::endl;
 311         //std::cout << "A = " << A << "; a=" << a << std::endl;
 312         D2<SBasis> Bs = compose(B, Linear(0, a));
 313         assert(Bs.tail_error(k));
 314         std::vector<Geom::Point> bez = sbasis_to_bezier(Bs, 2);
 315         reverse(bez.begin(), bez.end());
 316         if (initial) {
 317           pb.start_subpath(bez[0]);
 318           initial = false;
 319         }
 320         pb.push_cubic(bez[1], bez[2], bez[3]);
 321
 322 // move to next piece of curve
 323         if(a >= 1) break;
 324         B = compose(B, Linear(a, 1));
 325         te = B.tail_error(k);
 326     }
 327 }
 328
 329 #endif
 330
 331 namespace Geom{
 332
 333 /** Make a path from a d2 sbasis.
 334  \param p the d2 Symmetric basis polynomial
 335  \returns a Path
 336
 337   If only_cubicbeziers is true, the resulting path may only contain CubicBezier curves.
 338 */
 339 void build_from_sbasis(Geom::PathBuilder &pb, D2<SBasis> const &B, double tol, bool only_cubicbeziers) {
 340     if (!B.isFinite()) {
 341         THROW_EXCEPTION("assertion failed: B.isFinite()");
 342     }
 343     if(tail_error(B, 2) < tol || sbasis_size(B) == 2) { // nearly cubic enough
 344         if( !only_cubicbeziers && (sbasis_size(B) <= 1) ) {
 345             pb.lineTo(B.at1());
 346         } else {
 347             std::vector<Geom::Point> bez;
 348             sbasis_to_bezier(bez, B, 2);
 349             pb.curveTo(bez[1], bez[2], bez[3]);
 350         }
 351     } else {
 352         build_from_sbasis(pb, compose(B, Linear(0, 0.5)), tol, only_cubicbeziers);
 353         build_from_sbasis(pb, compose(B, Linear(0.5, 1)), tol, only_cubicbeziers);
 354     }
 355 }
 356
 357 /** Make a path from a d2 sbasis.
 358  \param p the d2 Symmetric basis polynomial
 359  \returns a Path
 360
 361   If only_cubicbeziers is true, the resulting path may only contain CubicBezier curves.
 362 */
 363 Path
 364 path_from_sbasis(D2<SBasis> const &B, double tol, bool only_cubicbeziers) {
 365     PathBuilder pb;
 366     pb.moveTo(B.at0());
 367     build_from_sbasis(pb, B, tol, only_cubicbeziers);
 368     pb.finish();
 369     return pb.peek().front();
 370 }
 371
 372 /** Make a path from a d2 sbasis.
 373  \param p the d2 Symmetric basis polynomial
 374  \returns a Path
 375
 376   If only_cubicbeziers is true, the resulting path may only contain CubicBezier curves.
 377  TODO: some of this logic should be lifted into svg-path
 378 */
 379 std::vector<Geom::Path>
 380 path_from_piecewise(Geom::Piecewise<Geom::D2<Geom::SBasis> > const &B, double tol, bool only_cubicbeziers) {
 381     Geom::PathBuilder pb;
 382     if(B.size() == 0) return pb.peek();
 383     Geom::Point start = B[0].at0();
 384     pb.moveTo(start);
 385     for(unsigned i = 0; ; i++) {
 386         if(i+1 == B.size() || !are_near(B[i+1].at0(), B[i].at1(), tol)) {
 387             //start of a new path
 388             if(are_near(start, B[i].at1()) && sbasis_size(B[i]) <= 1) {
 389                 pb.closePath();
 390                 //last line seg already there (because of .closePath())
 391                 goto no_add;
 392             }
 393             build_from_sbasis(pb, B[i], tol, only_cubicbeziers);
 394             if(are_near(start, B[i].at1())) {
 395                 //it's closed, the last closing segment was not a straight line so it needed to be added, but still make it closed here with degenerate straight line.
 396                 pb.closePath();
 397             }
 398           no_add:
 399             if(i+1 >= B.size()) break;
 400             start = B[i+1].at0();
 401             pb.moveTo(start);
 402         } else {
 403             build_from_sbasis(pb, B[i], tol, only_cubicbeziers);
 404         }
 405     }
 406     pb.finish();
 407     return pb.peek();
 408 }
 409
 410 }
 411
 412 /*
 413   Local Variables:
 414   mode:c++
 415   c-file-style:"stroustrup"
 416   c-file-offsets:((innamespace . 0)(inline-open . 0)(case-label . +))
 417   indent-tabs-mode:nil
 418   fill-column:99
 419   End:
 420 */
 421 // vim: filetype=cpp:expandtab:shiftwidth=4:tabstop=8:softtabstop=4:encoding=utf-8:textwidth=99 :