src/2geom/sbasis-to-bezier.cpp

   1 /*
   2  * Symmetric Power Basis - Bernstein Basis conversion routines
   3  *
   4  * Authors:
   5  *      Marco Cecchetti <mrcekets at gmail.com>
   6  *      Nathan Hurst <njh@mail.csse.monash.edu.au>
   7  *
   8  * Copyright 2007-2008  authors
   9  *
  10  * This library is free software; you can redistribute it and/or
  11  * modify it either under the terms of the GNU Lesser General Public
  12  * License version 2.1 as published by the Free Software Foundation
  13  * (the "LGPL") or, at your option, under the terms of the Mozilla
  14  * Public License Version 1.1 (the "MPL"). If you do not alter this
  15  * notice, a recipient may use your version of this file under either
  16  * the MPL or the LGPL.
  17  *
  18  * You should have received a copy of the LGPL along with this library
  19  * in the file COPYING-LGPL-2.1; if not, write to the Free Software
  20  * Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA
  21  * You should have received a copy of the MPL along with this library
  22  * in the file COPYING-MPL-1.1
  23  *
  24  * The contents of this file are subject to the Mozilla Public License
  25  * Version 1.1 (the "License"); you may not use this file except in
  26  * compliance with the License. You may obtain a copy of the License at
  27  * http://www.mozilla.org/MPL/
  28  *
  29  * This software is distributed on an "AS IS" basis, WITHOUT WARRANTY
  30  * OF ANY KIND, either express or implied. See the LGPL or the MPL for
  31  * the specific language governing rights and limitations.
  32  */
  33
  34
  35 #include <2geom/sbasis-to-bezier.h>
  36 #include <2geom/d2.h>
  37 #include <2geom/choose.h>
  38 #include <2geom/svg-path.h>
  39 #include <2geom/exception.h>
  40
  41 #include <iostream>
  42
  43
  44
  45
  46 namespace Geom
  47 {
  48
  49 /*
  50  *  Symmetric Power Basis - Bernstein Basis conversion routines
  51  *
  52  *  some remark about precision:
  53  *  interval [0,1], subdivisions: 10^3
  54  *  - bezier_to_sbasis : up to degree ~72 precision is at least 10^-5
  55  *                       up to degree ~87 precision is at least 10^-3
  56  *  - sbasis_to_bezier : up to order ~63 precision is at least 10^-15
  57  *                       precision is at least 10^-14 even beyond order 200
  58  *
  59  *  interval [-1,1], subdivisions: 10^3
  60  *  - bezier_to_sbasis : up to degree ~21 precision is at least 10^-5
  61  *                       up to degree ~24 precision is at least 10^-3
  62  *  - sbasis_to_bezier : up to order ~11 precision is at least 10^-5
  63  *                       up to order ~13 precision is at least 10^-3
  64  *
  65  *  interval [-10,10], subdivisions: 10^3
  66  *  - bezier_to_sbasis : up to degree ~7 precision is at least 10^-5
  67  *                       up to degree ~8 precision is at least 10^-3
  68  *  - sbasis_to_bezier : up to order ~3 precision is at least 10^-5
  69  *                       up to order ~4 precision is at least 10^-3
  70  *
  71  *  references:
  72  *  this implementation is based on the following article:
  73  *  J.Sanchez-Reyes - The Symmetric Analogue of the Polynomial Power Basis
  74  */
  75
  76 inline
  77 double binomial(unsigned int n, unsigned int k)
  78 {
  79     return choose<double>(n, k);
  80 }
  81
  82 inline
  83 int sgn(unsigned int j, unsigned int k)
  84 {
  85     assert (j >= k);
  86     // we are sure that j >= k
  87     return ((j-k) &  1u) ? -1 : 1;
  88 }
  89
  90
  91 /** Changes the basis of p to be bernstein.
  92  \param p the Symmetric basis polynomial
  93  \returns the Bernstein basis polynomial
  94
  95  if the degree is even q is the order in the symmetrical power basis,
  96  if the degree is odd q is the order + 1
  97  n is always the polynomial degree, i. e. the Bezier order
  98  sz is the number of bezier handles.
  99 */
 100 void sbasis_to_bezier (Bezier & bz, SBasis const& sb, size_t sz)
 101 {
 102     size_t q, n;
 103     bool even;
 104     if (sz == 0)
 105     {
 106         q = sb.size();
 107         if (sb[q-1][0] == sb[q-1][1])
 108         {
 109             even = true;
 110             --q;
 111             n = 2*q;
 112         }
 113         else
 114         {
 115             even = false;
 116             n = 2*q-1;
 117         }
 118     }
 119     else
 120     {
 121         q = (sz > 2*sb.size()-1) ?  sb.size() : (sz+1)/2;
 122         n = sz-1;
 123         even = false;
 124     }
 125     bz.clear();
 126     bz.resize(n+1);
 127     double Tjk;
 128     for (size_t k = 0; k < q; ++k)
 129     {
 130         for (size_t j = k; j < n-k; ++j) // j <= n-k-1
 131         {
 132             Tjk = binomial(n-2*k-1, j-k);
 133             bz[j] += (Tjk * sb[k][0]);
 134             bz[n-j] += (Tjk * sb[k][1]); // n-k <-> [k][1]
 135         }
 136     }
 137     if (even)
 138     {
 139         bz[q] += sb[q][0];
 140     }
 141     // the resulting coefficients are with respect to the scaled Bernstein
 142     // basis so we need to divide them by (n, j) binomial coefficient
 143     for (size_t j = 1; j < n; ++j)
 144     {
 145         bz[j] /= binomial(n, j);
 146     }
 147     bz[0] = sb[0][0];
 148     bz[n] = sb[0][1];
 149 }
 150
 151 /** Changes the basis of p to be Bernstein.
 152  \param p the D2 Symmetric basis polynomial
 153  \returns the D2 Bernstein basis polynomial
 154
 155  sz is always the polynomial degree, i. e. the Bezier order
 156 */
 157 void sbasis_to_bezier (std::vector<Point> & bz, D2<SBasis> const& sb, size_t sz)
 158 {
 159     Bezier bzx, bzy;
 160     if(sz == 0) {
 161         sz = std::max(sb[X].size(), sb[Y].size())*2;
 162     }
 163     sbasis_to_bezier(bzx, sb[X], sz);
 164     sbasis_to_bezier(bzy, sb[Y], sz);
 165     assert(bzx.size() == bzy.size());
 166     size_t n = (bzx.size() >= bzy.size()) ? bzx.size() : bzy.size();
 167
 168     bz.resize(n, Point(0,0));
 169     for (size_t i = 0; i < bzx.size(); ++i)
 170     {
 171         bz[i][X] = bzx[i];
 172     }
 173     for (size_t i = 0; i < bzy.size(); ++i)
 174     {
 175         bz[i][Y] = bzy[i];
 176     }
 177 }
 178
 179
 180 /** Changes the basis of p to be sbasis.
 181  \param p the Bernstein basis polynomial
 182  \returns the Symmetric basis polynomial
 183
 184  if the degree is even q is the order in the symmetrical power basis,
 185  if the degree is odd q is the order + 1
 186  n is always the polynomial degree, i. e. the Bezier order
 187 */
 188 void bezier_to_sbasis (SBasis & sb, Bezier const& bz)
 189 {
 190     size_t n = bz.order();
 191     size_t q = (n+1) / 2;
 192     size_t even = (n & 1u) ? 0 : 1;
 193     sb.clear();
 194     sb.resize(q + even, Linear(0, 0));
 195     double Tjk;
 196     for (size_t k = 0; k < q; ++k)
 197     {
 198         for (size_t j = k; j < q; ++j)
 199         {
 200             Tjk = sgn(j, k) * binomial(n-j-k, j-k) * binomial(n, k);
 201             sb[j][0] += (Tjk * bz[k]);
 202             sb[j][1] += (Tjk * bz[n-k]); // n-j <-> [j][1]
 203         }
 204         for (size_t j = k+1; j < q; ++j)
 205         {
 206             Tjk = sgn(j, k) * binomial(n-j-k-1, j-k-1) * binomial(n, k);
 207             sb[j][0] += (Tjk * bz[n-k]);
 208             sb[j][1] += (Tjk * bz[k]);   // n-j <-> [j][1]
 209         }
 210     }
 211     if (even)
 212     {
 213         for (size_t k = 0; k < q; ++k)
 214         {
 215             Tjk = sgn(q,k) * binomial(n, k);
 216             sb[q][0] += (Tjk * (bz[k] + bz[n-k]));
 217         }
 218         sb[q][0] += (binomial(n, q) * bz[q]);
 219         sb[q][1] = sb[q][0];
 220     }
 221     sb[0][0] = bz[0];
 222     sb[0][1] = bz[n];
 223 }
 224
 225
 226 /** Changes the basis of d2 p to be sbasis.
 227  \param p the d2 Bernstein basis polynomial
 228  \returns the d2 Symmetric basis polynomial
 229
 230  if the degree is even q is the order in the symmetrical power basis,
 231  if the degree is odd q is the order + 1
 232  n is always the polynomial degree, i. e. the Bezier order
 233 */
 234 void bezier_to_sbasis (D2<SBasis> & sb, std::vector<Point> const& bz)
 235 {
 236     size_t n = bz.size() - 1;
 237     size_t q = (n+1) / 2;
 238     size_t even = (n & 1u) ? 0 : 1;
 239     sb[X].clear();
 240     sb[Y].clear();
 241     sb[X].resize(q + even, Linear(0, 0));
 242     sb[Y].resize(q + even, Linear(0, 0));
 243     double Tjk;
 244     for (size_t k = 0; k < q; ++k)
 245     {
 246         for (size_t j = k; j < q; ++j)
 247         {
 248             Tjk = sgn(j, k) * binomial(n-j-k, j-k) * binomial(n, k);
 249             sb[X][j][0] += (Tjk * bz[k][X]);
 250             sb[X][j][1] += (Tjk * bz[n-k][X]);
 251             sb[Y][j][0] += (Tjk * bz[k][Y]);
 252             sb[Y][j][1] += (Tjk * bz[n-k][Y]);
 253         }
 254         for (size_t j = k+1; j < q; ++j)
 255         {
 256             Tjk = sgn(j, k) * binomial(n-j-k-1, j-k-1) * binomial(n, k);
 257             sb[X][j][0] += (Tjk * bz[n-k][X]);
 258             sb[X][j][1] += (Tjk * bz[k][X]);
 259             sb[Y][j][0] += (Tjk * bz[n-k][Y]);
 260             sb[Y][j][1] += (Tjk * bz[k][Y]);
 261         }
 262     }
 263     if (even)
 264     {
 265         for (size_t k = 0; k < q; ++k)
 266         {
 267             Tjk = sgn(q,k) * binomial(n, k);
 268             sb[X][q][0] += (Tjk * (bz[k][X] + bz[n-k][X]));
 269             sb[Y][q][0] += (Tjk * (bz[k][Y] + bz[n-k][Y]));
 270         }
 271         sb[X][q][0] += (binomial(n, q) * bz[q][X]);
 272         sb[X][q][1] = sb[X][q][0];
 273         sb[Y][q][0] += (binomial(n, q) * bz[q][Y]);
 274         sb[Y][q][1] = sb[Y][q][0];
 275     }
 276     sb[X][0][0] = bz[0][X];
 277     sb[X][0][1] = bz[n][X];
 278     sb[Y][0][0] = bz[0][Y];
 279     sb[Y][0][1] = bz[n][Y];
 280 }
 281
 282
 283 }  // end namespace Geom
 284
 285
 286 #if 0
 287 /*
 288 * This version works by inverting a reasonable upper bound on the error term after subdividing the
 289 * curve at $a$.  We keep biting off pieces until there is no more curve left.
 290 *
 291 * Derivation: The tail of the power series is $a_ks^k + a_{k+1}s^{k+1} + \ldots = e$.  A
 292 * subdivision at $a$ results in a tail error of $e*A^k, A = (1-a)a$.  Let this be the desired
 293 * tolerance tol $= e*A^k$ and invert getting $A = e^{1/k}$ and $a = 1/2 - \sqrt{1/4 - A}$
 294 */
 295 void
 296 subpath_from_sbasis_incremental(Geom::OldPathSetBuilder &pb, D2<SBasis> B, double tol, bool initial) {
 297     const unsigned k = 2; // cubic bezier
 298     double te = B.tail_error(k);
 299     assert(B[0].IS_FINITE());
 300     assert(B[1].IS_FINITE());
 301
 302     //std::cout << "tol = " << tol << std::endl;
 303     while(1) {
 304         double A = std::sqrt(tol/te); // pow(te, 1./k)
 305         double a = A;
 306         if(A < 1) {
 307             A = std::min(A, 0.25);
 308             a = 0.5 - std::sqrt(0.25 - A); // quadratic formula
 309             if(a > 1) a = 1; // clamp to the end of the segment
 310         } else
 311             a = 1;
 312         assert(a > 0);
 313         //std::cout << "te = " << te << std::endl;
 314         //std::cout << "A = " << A << "; a=" << a << std::endl;
 315         D2<SBasis> Bs = compose(B, Linear(0, a));
 316         assert(Bs.tail_error(k));
 317         std::vector<Geom::Point> bez = sbasis_to_bezier(Bs, 2);
 318         reverse(bez.begin(), bez.end());
 319         if (initial) {
 320           pb.start_subpath(bez[0]);
 321           initial = false;
 322         }
 323         pb.push_cubic(bez[1], bez[2], bez[3]);
 324
 325 // move to next piece of curve
 326         if(a >= 1) break;
 327         B = compose(B, Linear(a, 1));
 328         te = B.tail_error(k);
 329     }
 330 }
 331
 332 #endif
 333
 334 namespace Geom{
 335
 336 /** Make a path from a d2 sbasis.
 337  \param p the d2 Symmetric basis polynomial
 338  \returns a Path
 339
 340   If only_cubicbeziers is true, the resulting path may only contain CubicBezier curves.
 341 */
 342 void build_from_sbasis(Geom::PathBuilder &pb, D2<SBasis> const &B, double tol, bool only_cubicbeziers) {
 343     if (!B.isFinite()) {
 344         THROW_EXCEPTION("assertion failed: B.isFinite()");
 345     }
 346     if(tail_error(B, 2) < tol || sbasis_size(B) == 2) { // nearly cubic enough
 347         if( !only_cubicbeziers && (sbasis_size(B) <= 1) ) {
 348             pb.lineTo(B.at1());
 349         } else {
 350             std::vector<Geom::Point> bez;
 351             sbasis_to_bezier(bez, B, 4);
 352             pb.curveTo(bez[1], bez[2], bez[3]);
 353         }
 354     } else {
 355         build_from_sbasis(pb, compose(B, Linear(0, 0.5)), tol, only_cubicbeziers);
 356         build_from_sbasis(pb, compose(B, Linear(0.5, 1)), tol, only_cubicbeziers);
 357     }
 358 }
 359
 360 /** Make a path from a d2 sbasis.
 361  \param p the d2 Symmetric basis polynomial
 362  \returns a Path
 363
 364   If only_cubicbeziers is true, the resulting path may only contain CubicBezier curves.
 365 */
 366 Path
 367 path_from_sbasis(D2<SBasis> const &B, double tol, bool only_cubicbeziers) {
 368     PathBuilder pb;
 369     pb.moveTo(B.at0());
 370     build_from_sbasis(pb, B, tol, only_cubicbeziers);
 371     pb.finish();
 372     return pb.peek().front();
 373 }
 374
 375 /** Make a path from a d2 sbasis.
 376  \param p the d2 Symmetric basis polynomial
 377  \returns a Path
 378
 379   If only_cubicbeziers is true, the resulting path may only contain CubicBezier curves.
 380  TODO: some of this logic should be lifted into svg-path
 381 */
 382 std::vector<Geom::Path>
 383 path_from_piecewise(Geom::Piecewise<Geom::D2<Geom::SBasis> > const &B, double tol, bool only_cubicbeziers) {
 384     Geom::PathBuilder pb;
 385     if(B.size() == 0) return pb.peek();
 386     Geom::Point start = B[0].at0();
 387     pb.moveTo(start);
 388     for(unsigned i = 0; ; i++) {
 389         if(i+1 == B.size() || !are_near(B[i+1].at0(), B[i].at1(), tol)) {
 390             //start of a new path
 391             if(are_near(start, B[i].at1()) && sbasis_size(B[i]) <= 1) {
 392                 pb.closePath();
 393                 //last line seg already there (because of .closePath())
 394                 goto no_add;
 395             }
 396             build_from_sbasis(pb, B[i], tol, only_cubicbeziers);
 397             if(are_near(start, B[i].at1())) {
 398                 //it's closed, the last closing segment was not a straight line so it needed to be added, but still make it closed here with degenerate straight line.
 399                 pb.closePath();
 400             }
 401           no_add:
 402             if(i+1 >= B.size()) break;
 403             start = B[i+1].at0();
 404             pb.moveTo(start);
 405         } else {
 406             build_from_sbasis(pb, B[i], tol, only_cubicbeziers);
 407         }
 408     }
 409     pb.finish();
 410     return pb.peek();
 411 }
 412
 413 }
 414
 415 /*
 416   Local Variables:
 417   mode:c++
 418   c-file-style:"stroustrup"
 419   c-file-offsets:((innamespace . 0)(inline-open . 0)(case-label . +))
 420   indent-tabs-mode:nil
 421   fill-column:99
 422   End:
 423 */
 424 // vim: filetype=cpp:expandtab:shiftwidth=4:tabstop=8:softtabstop=4:encoding=utf-8:textwidth=99 :