src/2geom/piecewise.h

   1 /**
   2  * \file
   3  * \brief Piecewise function class
   4  *
   5  * Copyright 2007 Michael Sloan <mgsloan@gmail.com>
   6  *
   7  * This library is free software; you can redistribute it and/or
   8  * modify it either under the terms of the GNU Lesser General Public
   9  * License version 2.1 as published by the Free Software Foundation
  10  * (the "LGPL") or, at your option, under the terms of the Mozilla
  11  * Public License Version 1.1 (the "MPL"). If you do not alter this
  12  * notice, a recipient may use your version of this file under either
  13  * the MPL or the LGPL.
  14  *
  15  * You should have received a copy of the LGPL along with this library
  16  * in the file COPYING-LGPL-2.1; if not, output to the Free Software
  17  * Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA
  18  * You should have received a copy of the MPL along with this library
  19  * in the file COPYING-MPL-1.1
  20  *
  21  * The contents of this file are subject to the Mozilla Public License
  22  * Version 1.1 (the "License"); you may not use this file except in
  23  * compliance with the License. You may obtain a copy of the License at
  24  * http://www.mozilla.org/MPL/
  25  *
  26  * This software is distributed on an "AS IS" basis, WITHOUT WARRANTY
  27  * OF ANY KIND, either express or implied. See the LGPL or the MPL for
  28  * the specific language governing rights and limitations.
  29  *
  30  */
  31
  32 #ifndef SEEN_GEOM_PW_SB_H
  33 #define SEEN_GEOM_PW_SB_H
  34
  35 #include <2geom/sbasis.h>
  36 #include <vector>
  37 #include <map>
  38
  39 #include <2geom/concepts.h>
  40 #include <2geom/isnan.h>
  41 #include <boost/concept_check.hpp>
  42
  43 namespace Geom {
  44 /**
  45  * %Piecewise function class.
  46  * The Piecewise class manages a sequence of elements of a type as segments and
  47  * the ’cuts’ between them. These cuts are time values which separate the pieces.
  48  * This function representation allows for more interesting functions, as it provides
  49  * a viable output for operations such as inversion, which may require multiple
  50  * SBasis to properly invert the original.
  51  * As for technical details, while the actual SBasis segments begin on the ﬁrst
  52  * cut and end on the last, the function is deﬁned throughout all inputs by ex-
  53  * tending the ﬁrst and last segments. The exact switching between segments is
  54  * arbitrarily such that beginnings (t=0) have preference over endings (t=1). This
  55  * only matters if it is discontinuous at the location.
  56  * \f[
  57  *      f(t) \rightarrow \left\{
  58  *      \begin{array}{cc}
  59  *      s_1,& t <= c_2 \\
  60  *      s_2,& c_2 <= t <= c_3\\
  61  *      \ldots
  62  *      s_n,& c_n <= t
  63  *      \end{array}\right.
  64  * \f]
  65  */
  66 template <typename T>
  67 class Piecewise {
  68   BOOST_CLASS_REQUIRE(T, Geom, FragmentConcept);
  69
  70   public:
  71     std::vector<double> cuts;
  72     std::vector<T> segs;
  73     //segs[i] stretches from cuts[i] to cuts[i+1].
  74
  75     Piecewise() {}
  76
  77     explicit Piecewise(const T &s) {
  78         push_cut(0.);
  79         push_seg(s);
  80         push_cut(1.);
  81     }
  82
  83     unsigned input_dim(){return 1;}
  84
  85     typedef typename T::output_type output_type;
  86
  87     explicit Piecewise(const output_type & v) {
  88         push_cut(0.);
  89         push_seg(T(v));
  90         push_cut(1.);
  91     }
  92
  93     inline void reserve(unsigned i) { segs.reserve(i); cuts.reserve(i + 1); }
  94
  95     inline T operator[](unsigned i) const { return segs[i]; }
  96     inline T &operator[](unsigned i) { return segs[i]; }
  97     inline output_type operator()(double t) const { return valueAt(t); }
  98     inline output_type valueAt(double t) const {
  99         unsigned n = segN(t);
 100         return segs[n](segT(t, n));
 101     }
 102     inline output_type firstValue() const {
 103         return valueAt(cuts.front());
 104     }
 105     inline output_type lastValue() const {
 106         return valueAt(cuts.back());
 107     }
 108     std::vector<output_type> valueAndDerivatives(double t, unsigned n_derivs) const {
 109         unsigned n = segN(t);
 110         std::vector<output_type> ret, val = segs[n].valueAndDerivatives(segT(t, n), n_derivs);
 111         double mult = 1;
 112         for(unsigned i = 0; i < val.size(); i++) {
 113             ret.push_back(val[i] * mult);
 114             mult /= cuts[n+1] - cuts[n];
 115         }
 116         return ret;
 117     }
 118     //TODO: maybe it is not a good idea to have this?
 119     Piecewise<T> operator()(SBasis f);
 120     Piecewise<T> operator()(Piecewise<SBasis>f);
 121
 122     inline unsigned size() const { return segs.size(); }
 123     inline bool empty() const { return segs.empty(); }
 124     inline void clear() {
 125         segs.clear();
 126         cuts.clear();
 127     }
 128
 129     /**Convenience/implementation hiding function to add segment/cut pairs.
 130      * Asserts that basic size and order invariants are correct
 131      */
 132     inline void push(const T &s, double to) {
 133         assert(cuts.size() - segs.size() == 1);
 134         push_seg(s);
 135         push_cut(to);
 136     }
 137     //Convenience/implementation hiding function to add cuts.
 138     inline void push_cut(double c) {
 139         ASSERT_INVARIANTS(cuts.empty() || c > cuts.back());
 140         cuts.push_back(c);
 141     }
 142     //Convenience/implementation hiding function to add segments.
 143     inline void push_seg(const T &s) { segs.push_back(s); }
 144
 145     /**Returns the segment index which corresponds to a 'global' piecewise time.
 146      * Also takes optional low/high parameters to expedite the search for the segment.
 147      */
 148     inline unsigned segN(double t, int low = 0, int high = -1) const {
 149         high = (high == -1) ? size() : high;
 150         if(t < cuts[0]) return 0;
 151         if(t >= cuts[size()]) return size() - 1;
 152         while(low < high) {
 153             int mid = (high + low) / 2; //Lets not plan on having huge (> INT_MAX / 2) cut sequences
 154             double mv = cuts[mid];
 155             if(mv < t) {
 156                 if(t < cuts[mid + 1]) return mid; else low = mid + 1;
 157             } else if(t < mv) {
 158                 if(cuts[mid - 1] < t) return mid - 1; else high = mid - 1;
 159             } else {
 160                 return mid;
 161             }
 162         }
 163         return low;
 164     }
 165
 166     /**Returns the time within a segment, given the 'global' piecewise time.
 167      * Also takes an optional index parameter which may be used for efficiency or to find the time on a
 168      * segment outside its range.  If it is left to its default, -1, it will call segN to find the index.
 169      */
 170     inline double segT(double t, int i = -1) const {
 171         if(i == -1) i = segN(t);
 172         assert(i >= 0);
 173         return (t - cuts[i]) / (cuts[i+1] - cuts[i]);
 174     }
 175
 176     inline double mapToDomain(double t, unsigned i) const {
 177         return (1-t)*cuts[i] + t*cuts[i+1]; //same as: t * (cuts[i+1] - cuts[i]) + cuts[i]
 178     }
 179
 180     //Offsets the piecewise domain
 181     inline void offsetDomain(double o) {
 182         assert(IS_FINITE(o));
 183         if(o != 0)
 184             for(unsigned i = 0; i <= size(); i++)
 185                 cuts[i] += o;
 186     }
 187
 188     //Scales the domain of the function by a value. 0 will result in an empty Piecewise.
 189     inline void scaleDomain(double s) {
 190         assert(s > 0);
 191         if(s == 0) {
 192             cuts.clear(); segs.clear();
 193             return;
 194         }
 195         for(unsigned i = 0; i <= size(); i++)
 196             cuts[i] *= s;
 197     }
 198
 199     //Retrieves the domain in interval form
 200     inline Interval domain() const { return Interval(cuts.front(), cuts.back()); }
 201
 202     //Transforms the domain into another interval
 203     inline void setDomain(Interval dom) {
 204         if(empty()) return;
 205         /* dom can not be empty
 206         if(dom.isEmpty()) {
 207             cuts.clear(); segs.clear();
 208             return;
 209         }*/
 210         double cf = cuts.front();
 211         double o = dom.min() - cf, s = dom.extent() / (cuts.back() - cf);
 212         for(unsigned i = 0; i <= size(); i++)
 213             cuts[i] = (cuts[i] - cf) * s + o;
 214         //fix floating point precision errors.
 215         cuts[0] = dom.min();
 216         cuts[size()] = dom.max();
 217     }
 218
 219     //Concatenates this Piecewise function with another, offseting time of the other to match the end.
 220     inline void concat(const Piecewise<T> &other) {
 221         if(other.empty()) return;
 222
 223         if(empty()) {
 224             cuts = other.cuts; segs = other.segs;
 225             return;
 226         }
 227
 228         segs.insert(segs.end(), other.segs.begin(), other.segs.end());
 229         double t = cuts.back() - other.cuts.front();
 230         cuts.reserve(cuts.size() + other.size());
 231         for(unsigned i = 0; i < other.size(); i++)
 232             push_cut(other.cuts[i + 1] + t);
 233     }
 234
 235     //Like concat, but ensures continuity.
 236     inline void continuousConcat(const Piecewise<T> &other) {
 237         boost::function_requires<AddableConcept<typename T::output_type> >();
 238         if(other.empty()) return;
 239
 240         if(empty()) { segs = other.segs; cuts = other.cuts; return; }
 241
 242         typename T::output_type y = segs.back().at1() - other.segs.front().at0();
 243         double t = cuts.back() - other.cuts.front();
 244         reserve(size() + other.size());
 245         for(unsigned i = 0; i < other.size(); i++)
 246             push(other[i] + y, other.cuts[i + 1] + t);
 247     }
 248
 249     //returns true if the Piecewise<T> meets some basic invariants.
 250     inline bool invariants() const {
 251         // segs between cuts
 252         if(!(segs.size() + 1 == cuts.size() || (segs.empty() && cuts.empty())))
 253             return false;
 254         // cuts in order
 255         for(unsigned i = 0; i < segs.size(); i++)
 256             if(cuts[i] >= cuts[i+1])
 257                 return false;
 258         return true;
 259     }
 260
 261 };
 262
 263 template<typename T>
 264 inline typename FragmentConcept<T>::BoundsType bounds_fast(const Piecewise<T> &f) {
 265     boost::function_requires<FragmentConcept<T> >();
 266
 267     if(f.empty()) return typename FragmentConcept<T>::BoundsType();
 268     typename FragmentConcept<T>::BoundsType ret(bounds_fast(f[0]));
 269     for(unsigned i = 1; i < f.size(); i++)
 270         ret.unionWith(bounds_fast(f[i]));
 271     return ret;
 272 }
 273
 274 template<typename T>
 275 inline typename FragmentConcept<T>::BoundsType bounds_exact(const Piecewise<T> &f) {
 276     boost::function_requires<FragmentConcept<T> >();
 277
 278     if(f.empty()) return typename FragmentConcept<T>::BoundsType();
 279     typename FragmentConcept<T>::BoundsType ret(bounds_exact(f[0]));
 280     for(unsigned i = 1; i < f.size(); i++)
 281         ret.unionWith(bounds_exact(f[i]));
 282     return ret;
 283 }
 284
 285 template<typename T>
 286 inline typename FragmentConcept<T>::BoundsType bounds_local(const Piecewise<T> &f, const OptInterval &_m) {
 287     boost::function_requires<FragmentConcept<T> >();
 288
 289     if(f.empty() || !_m) return typename FragmentConcept<T>::BoundsType();
 290     Interval const &m = *_m;
 291     if(m.isSingular()) return typename FragmentConcept<T>::BoundsType(f(m.min()));
 292
 293     unsigned fi = f.segN(m.min()), ti = f.segN(m.max());
 294     double ft = f.segT(m.min(), fi), tt = f.segT(m.max(), ti);
 295
 296     if(fi == ti) return bounds_local(f[fi], Interval(ft, tt));
 297
 298     typename FragmentConcept<T>::BoundsType ret(bounds_local(f[fi], Interval(ft, 1.)));
 299     for(unsigned i = fi + 1; i < ti; i++)
 300         ret.unionWith(bounds_exact(f[i]));
 301     if(tt != 0.) ret.unionWith(bounds_local(f[ti], Interval(0., tt)));
 302
 303     return ret;
 304 }
 305
 306 //returns a portion of a piece of a Piecewise<T>, given the piece's index and a to/from time.
 307 template<typename T>
 308 T elem_portion(const Piecewise<T> &a, unsigned i, double from, double to) {
 309     assert(i < a.size());
 310     double rwidth = 1 / (a.cuts[i+1] - a.cuts[i]);
 311     return portion( a[i], (from - a.cuts[i]) * rwidth, (to - a.cuts[i]) * rwidth );
 312 }
 313
 314 /**Piecewise<T> partition(const Piecewise<T> &pw, std::vector<double> const &c);
 315  * Further subdivides the Piecewise<T> such that there is a cut at every value in c.
 316  * Precondition: c sorted lower to higher.
 317  *
 318  * //Given Piecewise<T> a and b:
 319  * Piecewise<T> ac = a.partition(b.cuts);
 320  * Piecewise<T> bc = b.partition(a.cuts);
 321  * //ac.cuts should be equivalent to bc.cuts
 322  */
 323 template<typename T>
 324 Piecewise<T> partition(const Piecewise<T> &pw, std::vector<double> const &c) {
 325     assert(pw.invariants());
 326     if(c.empty()) return Piecewise<T>(pw);
 327
 328     Piecewise<T> ret = Piecewise<T>();
 329     ret.reserve(c.size() + pw.cuts.size() - 1);
 330
 331     if(pw.empty()) {
 332         ret.cuts = c;
 333         for(unsigned i = 0; i < c.size() - 1; i++)
 334             ret.push_seg(T());
 335         return ret;
 336     }
 337
 338     unsigned si = 0, ci = 0;     //Segment index, Cut index
 339
 340     //if the cuts have something earlier than the Piecewise<T>, add portions of the first segment
 341     while(c[ci] < pw.cuts.front() && ci < c.size()) {
 342         bool isLast = (ci == c.size()-1 || c[ci + 1] >= pw.cuts.front());
 343         ret.push_cut(c[ci]);
 344         ret.push_seg( elem_portion(pw, 0, c[ci], isLast ? pw.cuts.front() : c[ci + 1]) );
 345         ci++;
 346     }
 347
 348     ret.push_cut(pw.cuts[0]);
 349     double prev = pw.cuts[0];    //previous cut
 350     //Loop which handles cuts within the Piecewise<T> domain
 351     //Should have the cuts = segs + 1 invariant
 352     while(si < pw.size() && ci <= c.size()) {
 353         if(ci == c.size() && prev <= pw.cuts[si]) { //cuts exhausted, straight copy the rest
 354             ret.segs.insert(ret.segs.end(), pw.segs.begin() + si, pw.segs.end());
 355             ret.cuts.insert(ret.cuts.end(), pw.cuts.begin() + si + 1, pw.cuts.end());
 356             return ret;
 357         }else if(ci == c.size() || c[ci] >= pw.cuts[si + 1]) {  //no more cuts within this segment, finalize
 358             if(prev > pw.cuts[si]) {      //segment already has cuts, so portion is required
 359                 ret.push_seg(portion(pw[si], pw.segT(prev, si), 1.0));
 360             } else {                     //plain copy is fine
 361                 ret.push_seg(pw[si]);
 362             }
 363             ret.push_cut(pw.cuts[si + 1]);
 364             prev = pw.cuts[si + 1];
 365             si++;
 366         } else if(c[ci] == pw.cuts[si]){                  //coincident
 367             //Already finalized the seg with the code immediately above
 368             ci++;
 369         } else {                                         //plain old subdivision
 370             ret.push(elem_portion(pw, si, prev, c[ci]), c[ci]);
 371             prev = c[ci];
 372             ci++;
 373         }
 374     }
 375
 376     //input cuts extend further than this Piecewise<T>, extend the last segment.
 377     while(ci < c.size()) {
 378         if(c[ci] > prev) {
 379             ret.push(elem_portion(pw, pw.size() - 1, prev, c[ci]), c[ci]);
 380             prev = c[ci];
 381         }
 382         ci++;
 383     }
 384     return ret;
 385 }
 386
 387 /**Piecewise<T> portion(const Piecewise<T> &pw, double from, double to);
 388  * Returns a Piecewise<T> with a defined domain of [min(from, to), max(from, to)].
 389  */
 390 template<typename T>
 391 Piecewise<T> portion(const Piecewise<T> &pw, double from, double to) {
 392     if(pw.empty() || from == to) return Piecewise<T>();
 393
 394     Piecewise<T> ret;
 395
 396     double temp = from;
 397     from = std::min(from, to);
 398     to = std::max(temp, to);
 399
 400     unsigned i = pw.segN(from);
 401     ret.push_cut(from);
 402     if(i == pw.size() - 1 || to <= pw.cuts[i + 1]) {    //to/from inhabit the same segment
 403         ret.push(elem_portion(pw, i, from, to), to);
 404         return ret;
 405     }
 406     ret.push_seg(portion( pw[i], pw.segT(from, i), 1.0 ));
 407     i++;
 408     unsigned fi = pw.segN(to, i);
 409     ret.reserve(fi - i + 1);
 410     if (to == pw.cuts[fi]) fi-=1;
 411
 412     ret.segs.insert(ret.segs.end(), pw.segs.begin() + i, pw.segs.begin() + fi);  //copy segs
 413     ret.cuts.insert(ret.cuts.end(), pw.cuts.begin() + i, pw.cuts.begin() + fi + 1);  //and their cuts
 414
 415     ret.push_seg( portion(pw[fi], 0.0, pw.segT(to, fi)));
 416     if(to != ret.cuts.back()) ret.push_cut(to);
 417     ret.invariants();
 418     return ret;
 419 }
 420
 421 //TODO: seems like these should be mutating
 422 template<typename T>
 423 Piecewise<T> remove_short_cuts(Piecewise<T> const &f, double tol) {
 424     if(f.empty()) return f;
 425     Piecewise<T> ret;
 426     ret.reserve(f.size());
 427     ret.push_cut(f.cuts[0]);
 428     for(unsigned i=0; i<f.size(); i++){
 429         if (f.cuts[i+1]-f.cuts[i] >= tol || i==f.size()-1) {
 430             ret.push(f[i], f.cuts[i+1]);
 431         }
 432     }
 433     return ret;
 434 }
 435
 436 //TODO: seems like these should be mutating
 437 template<typename T>
 438 Piecewise<T> remove_short_cuts_extending(Piecewise<T> const &f, double tol) {
 439     if(f.empty()) return f;
 440     Piecewise<T> ret;
 441     ret.reserve(f.size());
 442     ret.push_cut(f.cuts[0]);
 443     double last = f.cuts[0]; // last cut included
 444     for(unsigned i=0; i<f.size(); i++){
 445         if (f.cuts[i+1]-f.cuts[i] >= tol) {
 446             ret.push(elem_portion(f, i, last, f.cuts[i+1]), f.cuts[i+1]);
 447             last = f.cuts[i+1];
 448         }
 449     }
 450     return ret;
 451 }
 452
 453 template<typename T>
 454 std::vector<double> roots(const Piecewise<T> &pw) {
 455     std::vector<double> ret;
 456     for(unsigned i = 0; i < pw.size(); i++) {
 457         std::vector<double> sr = roots(pw[i]);
 458         for (unsigned j = 0; j < sr.size(); j++) ret.push_back(sr[j] * (pw.cuts[i + 1] - pw.cuts[i]) + pw.cuts[i]);
 459
 460     }
 461     return ret;
 462 }
 463
 464 //IMPL: OffsetableConcept
 465 template<typename T>
 466 Piecewise<T> operator+(Piecewise<T> const &a, typename T::output_type b) {
 467     boost::function_requires<OffsetableConcept<T> >();
 468 //TODO:empty
 469     Piecewise<T> ret;
 470     ret.segs.reserve(a.size());
 471     ret.cuts = a.cuts;
 472     for(unsigned i = 0; i < a.size();i++)
 473         ret.push_seg(a[i] + b);
 474     return ret;
 475 }
 476 template<typename T>
 477 Piecewise<T> operator-(Piecewise<T> const &a, typename T::output_type b) {
 478     boost::function_requires<OffsetableConcept<T> >();
 479 //TODO: empty
 480     Piecewise<T> ret;
 481     ret.segs.reserve(a.size());
 482     ret.cuts = a.cuts;
 483     for(unsigned i = 0; i < a.size();i++)
 484         ret.push_seg(a[i] - b);
 485     return ret;
 486 }
 487 template<typename T>
 488 Piecewise<T>& operator+=(Piecewise<T>& a, typename T::output_type b) {
 489     boost::function_requires<OffsetableConcept<T> >();
 490
 491     if(a.empty()) { a.push_cut(0.); a.push(T(b), 1.); return a; }
 492
 493     for(unsigned i = 0; i < a.size();i++)
 494         a[i] += b;
 495     return a;
 496 }
 497 template<typename T>
 498 Piecewise<T>& operator-=(Piecewise<T>& a, typename T::output_type b) {
 499     boost::function_requires<OffsetableConcept<T> >();
 500
 501     if(a.empty()) { a.push_cut(0.); a.push(T(-b), 1.); return a; }
 502
 503     for(unsigned i = 0;i < a.size();i++)
 504         a[i] -= b;
 505     return a;
 506 }
 507
 508 //IMPL: ScalableConcept
 509 template<typename T>
 510 Piecewise<T> operator-(Piecewise<T> const &a) {
 511     boost::function_requires<ScalableConcept<T> >();
 512
 513     Piecewise<T> ret;
 514     ret.segs.reserve(a.size());
 515     ret.cuts = a.cuts;
 516     for(unsigned i = 0; i < a.size();i++)
 517         ret.push_seg(- a[i]);
 518     return ret;
 519 }
 520 template<typename T>
 521 Piecewise<T> operator*(Piecewise<T> const &a, double b) {
 522     boost::function_requires<ScalableConcept<T> >();
 523
 524     if(a.empty()) return Piecewise<T>();
 525
 526     Piecewise<T> ret;
 527     ret.segs.reserve(a.size());
 528     ret.cuts = a.cuts;
 529     for(unsigned i = 0; i < a.size();i++)
 530         ret.push_seg(a[i] * b);
 531     return ret;
 532 }
 533 template<typename T>
 534 Piecewise<T> operator/(Piecewise<T> const &a, double b) {
 535     boost::function_requires<ScalableConcept<T> >();
 536
 537     //FIXME: b == 0?
 538     if(a.empty()) return Piecewise<T>();
 539
 540     Piecewise<T> ret;
 541     ret.segs.reserve(a.size());
 542     ret.cuts = a.cuts;
 543     for(unsigned i = 0; i < a.size();i++)
 544         ret.push_seg(a[i] / b);
 545     return ret;
 546 }
 547 template<typename T>
 548 Piecewise<T>& operator*=(Piecewise<T>& a, double b) {
 549     boost::function_requires<ScalableConcept<T> >();
 550
 551     for(unsigned i = 0; i < a.size();i++)
 552         a[i] *= b;
 553     return a;
 554 }
 555 template<typename T>
 556 Piecewise<T>& operator/=(Piecewise<T>& a, double b) {
 557     boost::function_requires<ScalableConcept<T> >();
 558
 559     //FIXME: b == 0?
 560
 561     for(unsigned i = 0; i < a.size();i++)
 562         a[i] /= b;
 563     return a;
 564 }
 565
 566 //IMPL: AddableConcept
 567 template<typename T>
 568 Piecewise<T> operator+(Piecewise<T> const &a, Piecewise<T> const &b) {
 569     boost::function_requires<AddableConcept<T> >();
 570
 571     Piecewise<T> pa = partition(a, b.cuts), pb = partition(b, a.cuts);
 572     Piecewise<T> ret;
 573     assert(pa.size() == pb.size());
 574     ret.segs.reserve(pa.size());
 575     ret.cuts = pa.cuts;
 576     for (unsigned i = 0; i < pa.size(); i++)
 577         ret.push_seg(pa[i] + pb[i]);
 578     return ret;
 579 }
 580 template<typename T>
 581 Piecewise<T> operator-(Piecewise<T> const &a, Piecewise<T> const &b) {
 582     boost::function_requires<AddableConcept<T> >();
 583
 584     Piecewise<T> pa = partition(a, b.cuts), pb = partition(b, a.cuts);
 585     Piecewise<T> ret = Piecewise<T>();
 586     assert(pa.size() == pb.size());
 587     ret.segs.reserve(pa.size());
 588     ret.cuts = pa.cuts;
 589     for (unsigned i = 0; i < pa.size(); i++)
 590         ret.push_seg(pa[i] - pb[i]);
 591     return ret;
 592 }
 593 template<typename T>
 594 inline Piecewise<T>& operator+=(Piecewise<T> &a, Piecewise<T> const &b) {
 595     a = a+b;
 596     return a;
 597 }
 598 template<typename T>
 599 inline Piecewise<T>& operator-=(Piecewise<T> &a, Piecewise<T> const &b) {
 600     a = a-b;
 601     return a;
 602 }
 603
 604 template<typename T1,typename T2>
 605 Piecewise<T2> operator*(Piecewise<T1> const &a, Piecewise<T2> const &b) {
 606     //function_requires<MultiplicableConcept<T1> >();
 607     //function_requires<MultiplicableConcept<T2> >();
 608
 609     Piecewise<T1> pa = partition(a, b.cuts);
 610     Piecewise<T2> pb = partition(b, a.cuts);
 611     Piecewise<T2> ret = Piecewise<T2>();
 612     assert(pa.size() == pb.size());
 613     ret.segs.reserve(pa.size());
 614     ret.cuts = pa.cuts;
 615     for (unsigned i = 0; i < pa.size(); i++)
 616         ret.push_seg(pa[i] * pb[i]);
 617     return ret;
 618 }
 619
 620 template<typename T>
 621 inline Piecewise<T>& operator*=(Piecewise<T> &a, Piecewise<T> const &b) {
 622     a = a * b;
 623     return a;
 624 }
 625
 626 Piecewise<SBasis> divide(Piecewise<SBasis> const &a, Piecewise<SBasis> const &b, unsigned k);
 627 //TODO: replace divide(a,b,k) by divide(a,b,tol,k)?
 628 //TODO: atm, relative error is ~(tol/a)%. Find a way to make it independant of a.
 629 //Nota: the result is 'truncated' where b is smaller than 'zero': ~ a/max(b,zero).
 630 Piecewise<SBasis>
 631 divide(Piecewise<SBasis> const &a, Piecewise<SBasis> const &b, double tol, unsigned k, double zero=1.e-3);
 632 Piecewise<SBasis>
 633 divide(SBasis const &a, Piecewise<SBasis> const &b, double tol, unsigned k, double zero=1.e-3);
 634 Piecewise<SBasis>
 635 divide(Piecewise<SBasis> const &a, SBasis const &b, double tol, unsigned k, double zero=1.e-3);
 636 Piecewise<SBasis>
 637 divide(SBasis const &a, SBasis const &b, double tol, unsigned k, double zero=1.e-3);
 638
 639 //Composition: functions called compose_* are pieces of compose that are factored out in pw.cpp.
 640 std::map<double,unsigned> compose_pullback(std::vector<double> const &cuts, SBasis const &g);
 641 int compose_findSegIdx(std::map<double,unsigned>::iterator  const &cut,
 642                        std::map<double,unsigned>::iterator  const &next,
 643                        std::vector<double>  const &levels,
 644                        SBasis const &g);
 645
 646 //TODO: add concept check
 647 template<typename T>
 648 Piecewise<T> compose(Piecewise<T> const &f, SBasis const &g){
 649     Piecewise<T> result;
 650     if (f.empty()) return result;
 651     if (g.isZero()) return Piecewise<T>(f(0));
 652     if (f.size()==1){
 653         double t0 = f.cuts[0], width = f.cuts[1] - t0;
 654         return (Piecewise<T>) compose(f.segs[0],compose(Linear(-t0 / width, (1-t0) / width), g));
 655     }
 656
 657     //first check bounds...
 658     Interval bs = *bounds_fast(g);
 659     if (f.cuts.front() > bs.max()  || bs.min() > f.cuts.back()){
 660         int idx = (bs.max() < f.cuts[1]) ? 0 : f.cuts.size()-2;
 661         double t0 = f.cuts[idx], width = f.cuts[idx+1] - t0;
 662         return (Piecewise<T>) compose(f.segs[idx],compose(Linear(-t0 / width, (1-t0) / width), g));
 663     }
 664
 665     std::vector<double> levels;//we can forget first and last cuts...
 666     levels.insert(levels.begin(),f.cuts.begin()+1,f.cuts.end()-1);
 667     //TODO: use a std::vector<pairs<double,unsigned> > instead of a map<double,unsigned>.
 668     std::map<double,unsigned> cuts_pb = compose_pullback(levels,g);
 669
 670     //-- Compose each piece of g with the relevant seg of f.
 671     result.cuts.push_back(0.);
 672     std::map<double,unsigned>::iterator cut=cuts_pb.begin();
 673     std::map<double,unsigned>::iterator next=cut; next++;
 674     while(next!=cuts_pb.end()){
 675         //assert(std::abs(int((*cut).second-(*next).second))<1);
 676         //TODO: find a way to recover from this error? the root finder missed some root;
 677         //  the levels/variations of f might be too close/fast...
 678         int idx = compose_findSegIdx(cut,next,levels,g);
 679         double t0=(*cut).first;
 680         double t1=(*next).first;
 681
 682         SBasis sub_g=compose(g, Linear(t0,t1));
 683         sub_g=compose(Linear(-f.cuts[idx]/(f.cuts[idx+1]-f.cuts[idx]),
 684                              (1-f.cuts[idx])/(f.cuts[idx+1]-f.cuts[idx])),sub_g);
 685         result.push(compose(f[idx],sub_g),t1);
 686         cut++;
 687         next++;
 688     }
 689     return(result);
 690 }
 691
 692 //TODO: add concept check for following composition functions
 693 template<typename T>
 694 Piecewise<T> compose(Piecewise<T> const &f, Piecewise<SBasis> const &g){
 695   Piecewise<T> result;
 696   for(unsigned i = 0; i < g.segs.size(); i++){
 697       Piecewise<T> fgi=compose(f, g.segs[i]);
 698       fgi.setDomain(Interval(g.cuts[i], g.cuts[i+1]));
 699       result.concat(fgi);
 700   }
 701   return result;
 702 }
 703
 704 /*
 705 Piecewise<D2<SBasis> > compose(D2<SBasis2d> const &sb2d, Piecewise<D2<SBasis> > const &pwd2sb){
 706   Piecewise<D2<SBasis> > result;
 707   result.push_cut(0.);
 708   for(unsigned i = 0; i < pwd2sb.size(); i++){
 709      result.push(compose_each(sb2d,pwd2sb[i]),i+1);
 710   }
 711   return result;
 712 }*/
 713
 714 template <typename T>
 715 Piecewise<T> Piecewise<T>::operator()(SBasis f){return compose((*this),f);}
 716 template <typename T>
 717 Piecewise<T> Piecewise<T>::operator()(Piecewise<SBasis>f){return compose((*this),f);}
 718
 719 template<typename T>
 720 Piecewise<T> integral(Piecewise<T> const &a) {
 721     Piecewise<T> result;
 722     result.segs.resize(a.segs.size());
 723     result.cuts = a.cuts;
 724     typename T::output_type c = a.segs[0].at0();
 725     for(unsigned i = 0; i < a.segs.size(); i++){
 726         result.segs[i] = integral(a.segs[i])*(a.cuts[i+1]-a.cuts[i]);
 727         result.segs[i]+= c-result.segs[i].at0();
 728         c = result.segs[i].at1();
 729     }
 730     return result;
 731 }
 732
 733 template<typename T>
 734 Piecewise<T> derivative(Piecewise<T> const &a) {
 735     Piecewise<T> result;
 736     result.segs.resize(a.segs.size());
 737     result.cuts = a.cuts;
 738     for(unsigned i = 0; i < a.segs.size(); i++){
 739         result.segs[i] = derivative(a.segs[i])/(a.cuts[i+1]-a.cuts[i]);
 740     }
 741     return result;
 742 }
 743
 744 std::vector<double> roots(Piecewise<SBasis> const &f);
 745
 746 std::vector<std::vector<double> >multi_roots(Piecewise<SBasis> const &f, std::vector<double> const &values);
 747
 748 template<typename T>
 749 Piecewise<T> reverse(Piecewise<T> const &f) {
 750     Piecewise<T> ret = Piecewise<T>();
 751     ret.reserve(f.size());
 752     double start = f.cuts[0];
 753     double end = f.cuts.back();
 754     for (unsigned i = 0; i < f.cuts.size(); i++) {
 755         double x = f.cuts[f.cuts.size() - 1 - i];
 756         ret.cuts[i] = end - (x - start);
 757     }
 758     for (unsigned i = 0; i < f.segs.size(); i++)
 759         ret.segs[i] = reverse(f[f.segs.size() - i - 1]);
 760     return ret;
 761 }
 762
 763
 764 /**
 765  *  Interpolates between a and b.
 766  *  \return a if t = 0, b if t = 1, or an interpolation between a and b for t in [0,1]
 767  */
 768 template<typename T>
 769 Piecewise<T> lerp(double t, Piecewise<T> const &a, Piecewise<T> b) {
 770     // Make sure both paths have the same number of segments and cuts at the same locations
 771     b.setDomain(a.domain());
 772     Piecewise<T> pA = partition(a, b.cuts);
 773     Piecewise<T> pB = partition(b, a.cuts);
 774
 775     return (pA*(1-t)  +  pB*t);
 776 }
 777
 778 }
 779 #endif //SEEN_GEOM_PW_SB_H
 780 /*
 781   Local Variables:
 782   mode:c++
 783   c-file-style:"stroustrup"
 784   c-file-offsets:((innamespace . 0)(inline-open . 0)(case-label . +))
 785   indent-tabs-mode:nil
 786   fill-column:99
 787   End:
 788 */
 789 // vim: filetype=cpp:expandtab:shiftwidth=4:tabstop=8:softtabstop=4:encoding=utf-8:textwidth=99 :